El 20 de marzo, el matemático estadounidense-canadiense Robert Langlands recibió el Premio Abel, celebrando los logros de toda una vida en matemáticas. La investigación de Langlands demostró cómo los conceptos de geometría, álgebra y análisis podrían reunirse mediante un enlace común a números primos.
Cuando el Rey de Noruega presente el premio a Langlands en mayo, honrará lo último en un esfuerzo de 2.300 años para comprender los números primos, posiblemente el conjunto de datos más grande y antiguo en matemáticas. Como matemático dedicado a este "programa Langlands", estoy fascinado por la historia de los números primos y cómo los recientes avances revelan sus secretos. ¿Por qué han cautivado a los matemáticos durante milenios?
Para estudiar números primos, los matemáticos filtran números enteros a través de una malla virtual tras otra hasta que solo queden números primos. Este proceso de tamizado produjo tablas de millones de primos en el siglo XIX. Permite a las computadoras de hoy encontrar miles de millones de primos en menos de un segundo. Pero la idea central del tamiz no ha cambiado en más de 2.000 años.
"Un número primo es el que se mide solo por la unidad", escribió el matemático Euclid en 300 a. C. Esto significa que los números primos no se pueden dividir equitativamente por ningún número menor, excepto 1. Por convención, los matemáticos no cuentan el 1 como Un número primo. Euclides demostró la infinitud de los números primos, continúan para siempre, pero la historia sugiere que fue Eratóstenes quien nos dio el tamiz para enumerar rápidamente los números primos.
Aquí está la idea del tamiz. Primero, filtre los múltiplos de 2, luego 3, luego 5, luego 7, los primeros cuatro primos. Si hace esto con todos los números del 2 al 100, solo quedarán los números primos.
El tamizado de múltiplos de 2, 3, 5 y 7 deja solo los números primos entre 1 y 100. (Cortesía de MH Weissman) Con ocho pasos de filtrado, uno puede aislar los primos hasta 400. Con 168 pasos de filtrado, uno puede aislar los primos hasta 1 millón. Ese es el poder del tamiz de Eratóstenes.
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Una figura temprana en la tabulación de números primos es John Pell, un matemático inglés que se dedicó a crear tablas de números útiles. Estaba motivado para resolver antiguos problemas aritméticos de Diophantos, pero también por una búsqueda personal para organizar verdades matemáticas. Gracias a sus esfuerzos, los primos de hasta 100, 000 circularon ampliamente a principios de 1700. Para 1800, los proyectos independientes habían tabulado los primos hasta 1 millón.
Para automatizar los tediosos pasos de tamizado, un matemático alemán llamado Carl Friedrich Hindenburg usó controles deslizantes ajustables para estampar múltiples en una página entera de una tabla a la vez. Otro enfoque de baja tecnología pero efectivo utilizó plantillas para localizar los múltiplos. A mediados de 1800, el matemático Jakob Kulik se había embarcado en un ambicioso proyecto para encontrar todos los números primos de hasta 100 millones.
Una plantilla utilizada por Kulik para tamizar los múltiplos de 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Imagen cortesía de Denis Roegel, Autor proporcionado) Este "gran dato" de 1800 podría haber servido solo como tabla de referencia, si Carl Friedrich Gauss no hubiera decidido analizar los números primos por su propio bien. Armado con una lista de primos de hasta 3 millones, Gauss comenzó a contarlos, un "chiliad", o grupo de 1, 000 unidades, a la vez. Contó los números primos hasta 1, 000, luego los números primos entre 1, 000 y 2, 000, luego entre 2, 000 y 3, 000 y así sucesivamente.
Gauss descubrió que, a medida que contaba más alto, los números primos gradualmente se volvían menos frecuentes de acuerdo con una ley de "registro inverso". La ley de Gauss no muestra exactamente cuántos números primos hay, pero ofrece una estimación bastante buena. Por ejemplo, su ley predice 72 primos entre 1, 000, 000 y 1, 001, 000. El recuento correcto es 75 primos, aproximadamente un error del 4 por ciento.
Un siglo después de las primeras exploraciones de Gauss, su ley se demostró en el "teorema de los números primos". El error porcentual se aproxima a cero en rangos cada vez mayores de números primos. La hipótesis de Riemann, un problema de un millón de dólares hoy, también describe cuán precisa es realmente la estimación de Gauss.
El teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann llaman la atención y el dinero, pero ambos siguieron el análisis de datos anterior, menos glamoroso.
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Hoy, nuestros conjuntos de datos provienen de programas de computadora en lugar de plantillas cortadas a mano, pero los matemáticos todavía están encontrando nuevos patrones en los números primos.
A excepción de 2 y 5, todos los números primos terminan en el dígito 1, 3, 7 o 9. En el siglo XIX, se demostró que estos últimos últimos dígitos son igualmente frecuentes. En otras palabras, si observa los números primos de hasta un millón, aproximadamente el 25 por ciento termina en 1, el 25 por ciento termina en 3, el 25 por ciento termina en 7 y el 25 por ciento termina en 9.
Hace unos años, los teóricos de los números de Stanford, Lemke Oliver y Kannan Soundararajan, fueron sorprendidos por sorpresa en los últimos dígitos de los números primos. Un experimento observó el último dígito de un primo, así como el último dígito del próximo primo. Por ejemplo, el siguiente primo después de 23 es 29: uno ve un 3 y luego un 9 en sus últimos dígitos. ¿Se ve 3 y luego 9 con más frecuencia que 3 y luego 7, entre los últimos dígitos de los números primos?
Frecuencia de pares de último dígito, entre números primos sucesivos de hasta 100 millones. Los colores coincidentes corresponden a huecos coincidentes. (MH Weissman, CC BY) Los teóricos de números esperaban alguna variación, pero lo que encontraron superó con creces las expectativas. Los primos están separados por diferentes huecos; por ejemplo, 23 está a seis números de distancia de 29. Pero los primos 3-entonces-9 como 23 y 29 son mucho más comunes que los primos 7-entonces-3, aunque ambos provienen de una brecha de seis.
Los matemáticos pronto encontraron una explicación plausible. Pero, cuando se trata del estudio de números primos sucesivos, los matemáticos están (en su mayoría) limitados al análisis de datos y la persuasión. Las pruebas, el estándar de oro de los matemáticos para explicar por qué las cosas son verdaderas, parecen estar a décadas de distancia.
Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation.
Martin H. Weissman, Profesor Asociado de Matemáticas, Universidad de California, Santa Cruz
