Así que allí estás viviendo tu vida, contento con tu comprensión de cómo funciona el mundo: arriba está arriba, abajo está abajo, el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Entonces, de la nada, un grupo de matemáticos intentan decirte que la suma de todos los enteros positivos, es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... y así hasta el infinito es igual a ... -1/12.
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Bueno, eso es claramente ridículo, ¿verdad? ¿Cómo pueden los números cada vez más grandes, cuando se suman, hacer un número pequeño? ¿Cómo pueden los números enteros formar una fracción? ¿Cómo pueden los números positivos hacer un negativo?
Así que ves el resto del video (arriba), realizado por Numberphile, un montón de maravillas de las matemáticas con un canal de YouTube popular (y generalmente confiable) sobre matemáticas. (Míralo. Vale la pena. Esperaremos). Su prueba parece sólida como una roca. Un grupo de personas realmente inteligentes, desde el astrónomo Phil Plait hasta la gente de Physics Central, doblaron el reclamo. "Resulta que las conclusiones que sacan en ese video son literalmente correctas. Puedes agregar una serie infinita de números positivos y sumarán una fracción negativa", dijo Plait.
Entonces eso es todo, ¿verdad? Las matemáticas no tienen sentido, y el mundo es extraño.
Pero ese no es el final de la historia.
Un segundo grupo de personas con inclinaciones matemáticas, incluida la bloguera científica estadounidense Evelyn Lamb y el físico Greg Gbur, acudió a la web para mostrar que, si bien la suma de todos los números positivos puede ser igual a -1/12 (como resultado, ellos explicar, se usa todo el tiempo para resolver con precisión problemas de física), esta respuesta alucinante realmente solo funciona si redefine totalmente algunos conceptos básicos de las matemáticas.
Phil Plait y el equipo de Physics Central finalmente llegaron, y fue el seguimiento de Physics Central lo que más nos ayudó a pensar en este dilema.
Según Physics Central, 1 + 2 + 3 + 4 + ... solo es igual a -1/12 porque los matemáticos redefinieron el signo igual. En este estilo de matemáticas, llamado continuación analítica, "=" dejó de significar "es igual a" y comenzó a significar "está asociado con". Matemáticos complicados.
Este truco matemático se remonta, dice Physics Central. Está en el trabajo del pionero matemático indio Srinivasa Ramanujan, por ejemplo:
Ramanujan también tiene la culpa. Después de todo, ¿cómo se supone que debemos entender lo que estaba tratando de decir aquí?
"Le dije que la suma de un número infinito de términos de la serie: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 según mi teoría. Si te digo esto, me lo señalarás de inmediato. el manicomio como mi objetivo ".
-S. Ramanujan en una carta a GH Hardy
¿Se supone que debemos darnos cuenta de que "según mi teoría" significa que "=" no significa igual?
No he encontrado su trabajo original, pero varias personas han reproducido un cálculo de Euler que usa un signo igual de la misma manera. Si los dos lados no son iguales, entonces, como recuerdo de matemáticas de segundo grado, no puedes usar un signo igual.
Entonces, ¿1 + 2 + 3 + 4 + 5 .... = -1/12? Sí, pero solo si, para usted, un signo igual significa algo distinto de "es igual a".
Ahora, eso no quiere decir que el equipo de Numberphile simplemente estuviera jugando con nuestras cabezas. El valor -1/12 se puede probar de varias maneras, y el resultado es ciertamente útil. Pero 1 + 2 + 3 + 4 + ... definitivamente no "iguala" -1/12 de ninguna manera que una persona normalmente pensaría en ello.
Que el equipo de Numberphile haya dado tal salto sin explicarlo a la gente, dice el físico Greg Gbur, es una pena:
El video hace que parezca tan simple e incontrovertible, casi obvio. Pero hay algunas grandes suposiciones matemáticas ocultas en su argumento que, en mi opinión, lo hacen muy engañoso. Para decirlo de otra manera: en un sentido matemático restringido y especializado, se puede asignar el valor -1/12 a la suma positiva creciente. Pero en el sentido habitual de adición que la mayoría de los seres humanos usaría intuitivamente, el resultado no tiene sentido.
Para mí, esta es una distinción importante: una parte deprimentemente grande de la población asume automáticamente que las matemáticas son una brujería extraña e intuitiva que solo los superinteligentes pueden comprender. Mostrar un resultado tan loco sin calificación solo refuerza esa visión y, en mi opinión, perjudica a las matemáticas.
Ni siquiera hemos intentado abordar las largas pruebas involucradas en resolver este debate aquí, pero si desea más, consulte:
Corrección: Hace 1 + 2 + 3 + 4 +. . . = -1 / 12? ¡Absolutamente no! Por Physics Central
Serie infinita: no es tan raro como algunos dirían por Greg Gbur
Seguimiento: la serie Infinite y el alucinante resultado de Phil Plait
¿1 + 2 + 3 ... realmente igual a -1/12? por Evelyn Lamb
