Lo más probable es que haya encontrado objetos unilaterales cientos de veces en su vida diaria, como el símbolo universal para el reciclaje, que se encuentra impreso en la parte posterior de latas de aluminio y botellas de plástico.
Este objeto matemático se llama tira de Mobius. Ha fascinado a ambientalistas, artistas, ingenieros, matemáticos y muchos otros desde su descubrimiento en 1858 por August Möbius, un matemático alemán que murió hace 150 años, el 26 de septiembre de 1868.
Möbius descubrió la tira unilateral en 1858 mientras se desempeñaba como presidente de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig. (Otro matemático llamado Listing lo describió en realidad unos meses antes, pero no publicó su trabajo hasta 1861). Möbius parece haberse encontrado con la tira de Möbius mientras trabajaba en la teoría geométrica de los poliedros, figuras sólidas compuestas de vértices, bordes y caras planas. .
Se puede crear una tira de Möbius tomando una tira de papel, dándole un número impar de medias vueltas, luego pegando los extremos para formar un bucle. Si toma un lápiz y dibuja una línea a lo largo del centro de la tira, verá que la línea aparentemente corre a ambos lados del bucle.
El concepto de un objeto unilateral inspiró a artistas como el diseñador gráfico holandés MC Escher, cuyo grabado en madera "Möbius Strip II" muestra hormigas rojas arrastrándose una tras otra a lo largo de una franja de Möbius.
La franja de Möbius tiene más de una propiedad sorprendente. Por ejemplo, intente tomar unas tijeras y cortar la tira por la mitad a lo largo de la línea que acaba de dibujar. Es posible que se sorprenda al descubrir que no le quedan dos tiras Möbius de un lado más pequeñas, sino un bucle largo de dos lados. Si no tiene un trozo de papel a mano, el grabado en madera de Escher "Möbius Strip I" muestra lo que sucede cuando se corta una tira de Möbius a lo largo de su línea central.
Si bien la tira ciertamente tiene un atractivo visual, su mayor impacto ha sido en las matemáticas, donde ayudó a estimular el desarrollo de un campo completo llamado topología.
Un topólogo estudia las propiedades de los objetos que se conservan cuando se mueven, se doblan, se estiran o se retuercen, sin cortar ni pegar partes. Por ejemplo, un par de auriculares enredados es, en un sentido topológico, lo mismo que un par de auriculares desenredados, porque cambiar uno a otro solo requiere moverse, doblarse y torcerse. No es necesario cortar ni pegar para transformarlos.
Otro par de objetos que son topológicamente iguales son una taza de café y una rosquilla. Debido a que ambos objetos tienen un solo agujero, uno puede deformarse en el otro simplemente estirando y doblando.
Una taza se transforma en una rosquilla. (Wikimedia Commons) El número de agujeros en un objeto es una propiedad que solo se puede cambiar cortando o pegando. Esta propiedad, llamada "género" de un objeto, nos permite decir que un par de auriculares y una dona son topológicamente diferentes, ya que una dona tiene un agujero, mientras que un par de auriculares no tiene agujeros.
Desafortunadamente, una tira de Möbius y un lazo de dos lados, como una típica pulsera de silicona, ambos parecen tener un agujero, por lo que esta propiedad es insuficiente para distinguirlos, al menos desde el punto de vista de un topólogo.
En cambio, la propiedad que distingue una tira de Möbius de un bucle de dos lados se llama orientabilidad. Al igual que su número de agujeros, la orientación de un objeto solo se puede cambiar mediante corte o pegado.
Imagínese escribiéndose una nota en una superficie transparente y luego dando un paseo por esa superficie. La superficie es orientable si, cuando regresas de tu caminata, siempre puedes leer la nota. En una superficie no orientable, puede regresar de su caminata solo para descubrir que las palabras que escribió aparentemente se han convertido en su imagen especular y solo se pueden leer de derecha a izquierda. En el bucle de dos lados, la nota siempre se leerá de izquierda a derecha, sin importar a dónde lo lleve su viaje.
Dado que la tira de Möbius no es orientable, mientras que el bucle de dos lados es orientable, eso significa que la tira de Möbius y el bucle de dos lados son topológicamente diferentes.
(Creado por David Gunderman) Cuando se inicia el GIF, los puntos enumerados en sentido horario son negro, azul y rojo. Sin embargo, podemos mover la configuración de tres puntos alrededor de la tira de Möbius de modo que la figura se encuentre en la misma ubicación, pero los colores de los puntos listados en el sentido de las agujas del reloj ahora son rojo, azul y negro. De alguna manera, la configuración se ha transformado en su propia imagen especular, pero todo lo que hemos hecho es moverla a la superficie. Esta transformación es imposible en una superficie orientable como el bucle de dos lados.
El concepto de orientabilidad tiene implicaciones importantes. Toma enantiómeros. Estos compuestos químicos tienen las mismas estructuras químicas, excepto por una diferencia clave: son imágenes especulares entre sí. Por ejemplo, el químico L-metanfetamina es un ingrediente de los inhaladores de vapor Vicks. Su imagen especular, D-metanfetamina, es una droga ilegal de Clase A. Si viviéramos en un mundo no orientable, estos productos químicos serían indistinguibles.
El descubrimiento de August Möbius abrió nuevas formas de estudiar el mundo natural. El estudio de la topología continúa produciendo resultados sorprendentes. Por ejemplo, el año pasado, la topología llevó a los científicos a descubrir nuevos estados extraños de la materia. La Medalla Fields de este año, el más alto honor en matemáticas, fue otorgada a Akshay Venkatesh, un matemático que ayudó a integrar la topología con otros campos como la teoría de números.
Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. estudiante de Matemática Aplicada, Universidad de Colorado y Richard Gunderman, Profesor del Canciller de Medicina, Artes Liberales y Filantropía, Universidad de Indiana
